一、单项选择题

（共 15 题，每题 2 分，共计 30 分；每题有且仅有一个正确选项）

【第 1 题】

在 Linux 系统中，如果你想显示当前工作目录的路径，应该使用哪个命令?（ ）。 {{ select(1) }}

• pwd
• cd
• ls
• echo

【第 2 题】 假设一个长度为 $n$ 的整数数组中每个元素值互不相同，且这个数组是无序的。 要找到这个数组中最大元素的时间复杂度是多少？（ ）

{{ select(2) }}

• $O(n)$
• $O(\log n)$
• $O(n \log n)$
• $O(1)$

【第 3 题】

在 C++ 中，以下哪个函数调用会造成栈溢出？（ ）

{{ select(3) }}

• int foo() { return 0; }
• int bar() { int x = 1; return x; }
• void baz() { int a[1000]; baz(); }
• void qux() { return; }

【第 4 题】

在一场比赛中，有 $10$ 名选手参加，前三名将获得金、银、铜牌。若不允许并列，且每名选手只能获得一枚奖牌，则不同的颁奖方式共有多少种？（ ）

{{ select(4) }}

• $120$
• $720$
• $504$
• $1000$

【第 5 题】

下面哪个数据结构最适合实现先进先出（FIFO）的功能？（ ） {{ select(5) }}

• 栈
• 队列
• 线性表
• 二叉搜索树

【第 6 题】

已知 $f(1)=1$，且对于 $n \ge 2$ 有 $f(n)=f(n-1)+f(\lfloor n/2 \rfloor)$，则 $f(4)$ 的值为？

{{ select(6) }}

• $4$
• $5$
• $6$
• $7$

【第 7 题】

假设有一个包含 n 个顶点的无向图，且该图是欧拉图。以下关于该图的描述中哪一项不一定正确？ （ ） {{ select(7) }}

• 所有顶点的度数均为偶数
• 该图连通
• 该图存在一个欧拉回路
• 该图的边数是奇数

【第 8 题】

对数组进行二分查找的过程中，以下哪个条件必须满足？（ ） {{ select(8) }}

• 数组必须是有序的
• 数组必须是无序的
• 数组长度必须是 2 的幂
• 数组中的元素必须是整数

【第 9 题】 考虑一个自然数 $n$ 以及一个模数 $m$，你需要计算 $n$ 的逆元（即 $n$ 在模 $m$ 意义下的逆元）。以下哪种算法最为适合？（ ）

{{ select(9) }}

• 使用暴力法逐次尝试
• 使用扩展欧几里得算法
• 使用快速幂算法
• 使用线性筛法

【第 10 题】 在设计一个哈希表时，为了减少冲突，需要使用适当的哈希函数和冲突解决策略。如果哈希表中有 $n$ 个键值对，表的装载因子为 $a$ ($0 < a \leq 1$)。在使用开放地址法来解决冲突的过程中，最坏情况下查找一个元素的时间复杂度为？（ ） {{ select(10) }}

• $O(1)$
• $O(\log n)$
• $O(1/(1 - \alpha))$
• $O(n)$

【第 11 题】

假设有一棵 $h$ 层的完全二叉树，该树最多包含多少个结点？（ ） {{ select(11) }}

• $2^h - 1$
• $2^{h+1} - 1$
• $2^h$
• $2^{h+1}$

【第 12 题】

设有一个 $10$ 个顶点的完全图，每两个顶点之间都有一条边。至少有多少个长度为 $4$ 的环？（ ）

{{ select(12) }}

• $120$
• $210$
• $630$
• $5040$

【第 13 题】 对于一个整数 $n$，定义 $f(n)$ 为 $n$ 的各位数字之和，问使得 $f(f(x)) = 10$ 的最小自然数 $x$ 是多少？（ ）

{{ select(13) }}

• $29$
• $199$
• $299$
• $399$

【第 14 题】 设有一个长度为 $n$ 的 $01$ 字符串，其中有 $k$ 个 $1$。每次操作可以交换相邻的两个字符。在最坏情况下将这 $k$ 个 $1$ 移到字符串最右边所需要的交换次数是多少？（ ） {{ select(14) }}

• $k$
• $k \times (k - 1)/2$
• $(n - k) \times k$
• $(2n - k - 1) \times k/2$

【第 15 题】

如图是一张包含 $7$ 个顶点的有向图，如果要删除其中一些边，使得从节点 $1$ 到节点 $7$ 没有可行路径，并且删除的边数最少，请问总共有多少种可行的删除边的集合？（ ）。

{{ select(15) }}

• 1
• 2
• 3
• 4

二、阅读程序

（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确填 √，错误填 ⨉ ；除特殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分，共计 40 分）

阅读程序（一）

01 #include <iostream>
02 using namespace std;
03
04 const int N = 1000;
05 int c[N];
06
07 int logic(int x, int y) {
08     return (x & y) ^ ((x ^ y) | (~x & y));
09 }
10
11 void generate(int a, int b, int *c) {
12     for (int i = 0; i < b; i++)
13         c[i] = logic(a, i) % (b + 1);
14 }
15 
16 void recursion(int depth, int *arr, int size) {
17     if (depth <= 0 || size <= 1) return;
18     int pivot = arr[0];
19     int i = 0, j = size - 1;
20     while (i <= j) {
21         while (arr[i] < pivot) i++;
22         while (arr[j] > pivot) j--;
23         if (i <= j) {
24             int temp = arr[i];
25             arr[i] = arr[j];
26             arr[j] = temp;
27             i++; j--;
28         }
29     }
30     recursion(depth - 1, arr, j + 1);
31     recursion(depth - 1, arr + i, size - i);
32 }
33
34 int main() {
35     int a, b, d;
36     cin >> a >> b >> d;
37     generate(a, b, c);
38     recursion(d, c, b);
39     for (int i = 0; i < b; ++i) cout << c[i] << " ";
40     cout << endl;
41 }

假设输入的所有数都为不超过 1000 的正整数，完成下面的判断题和单选题：

判断题

16. 当 $1000 \ge d \ge b$ 时，输出的序列是有序的。 {{ select(16) }}

• 正确
• 错误

17. 当输入 $5\ 5\ 1$ 时，输出为 $1\ 1\ 5\ 5\ 5$ 。 {{ select(17) }}

• 正确
• 错误

18. 假设数组 $c$ 长度无限制，该程序所实现的算法的时间复杂度是 $O(b)$ 的。 {{ select(18) }}

• 正确
• 错误

单选题

19. 函数 int logic(int x, int y) 的功能是（ ）。 {{ select(19) }}

• 按位与
• 按位或
• 按位异或
• 以上都不是

20. 当输入为 10 100 100 时，输出的第 100 个数是？（ ）。 {{ select(20) }}

• 91
• 94
• 95
• 98

阅读程序（二）

01 #include <iostream>
02 #include <string>
03 using namespace std;
04
05 const int P = 998244353, N = 1e4 + 10, M = 20;
06 int n, m;
07 string s;
08 int dp[1 << M];
09
10 int solve() {
11     dp[0] = 1;
12     for (int i = 0; i < n; ++i) {
13         for (int j = (1 << (m - 1)) - 1; j >= 0; --j) {
14             int k = (j << 1) | (s[i] - '0');
15             if (j != 0 || s[i] == '1')
16                 dp[k] = (dp[k] + dp[j]) % P;
17         }
18     }
19     int ans = 0;
20     for (int i = 0; i < (1 << m); ++i) {
21         ans = (ans + 1ll * i * dp[i]) % P;
22     }
23     return ans;
24 }
25
26 int solve2() {
27     int ans = 0;
28     for (int i = 0; i < (1 << n); ++i) {
29         int cnt = 0;
30         int num = 0;
31         for (int j = 0; j < n; ++j) {
32             if (i & (1 << j)) {
33                 num = num * 2 + (s[j] - '0');
34                 cnt++;
35             }
36         }
37         if (cnt <= m) (ans += num) %= P;
38     }
39     return ans;
40 }
41
42 int main() {
43     cin >> n >> m;
44     cin >> s;
45     if (n <= 20) {
46         cout << solve2() << endl;
47     }
48     cout << solve() << endl;
49     return 0;
50 }

假设输入的 $s$ 是包含 $n$ 个字符的 01 串，完成下面的判断题和单选题。

判断题

21. 假设数组 dp 长度无限制，函数 solve() 所实现的算法的时间复杂度是 $O(n \times 2^{m})$。

    {{ select(21) }}

• 正确
• 错误

22. 输入 11 2 10000000001 时，程序输出两个数 32 和 23。 {{ select(22) }}

• 正确
• 错误

23. （2 分）在 $n \le 10$ 时，solve() 的返回值始终小于 $4^{10}$。

{{ select(23) }}

• 正确
• 错误

单选题

24. 当 $n = 10$ 且 $m = 10$ 时，有多少种输入使得两行的结果完全一致？（ ） {{ select(24) }}

• 1024
• 11
• 10
• 0

25. 当 $n \le 6$ 时，solve() 的最大可能返回值为（ ）？ {{ select(25) }}

• 65
• 211
• 665
• 2059

26. 若 $n = 8, m = 8$，solve 和 solve2 的返回值的最大可能差值为（ ）？ {{ select(26) }}

• 1477
• 1995
• 2059
• 2187

阅读程序（三）

01 #include <iostream>
02 #include <cstring>
03 #include <algorithm>
04 using namespace std;
05
06 const int maxn = 1000000 + 5;
07 const int P1 = 998244353, P2 = 1000000007;
08 const int B1 = 2, B2 = 31;
09 const int K1 = 0, K2 = 13;
10
11 typedef long long ll;
12
13 int n;
14 bool p[maxn];
15 int p1[maxn], p2[maxn];
16
17 struct H {
18     int h1, h2, l;
19     H(bool b = false) {
20         h1 = b + K1;
21         h2 = b + K2;
22         l = 1;
23     }
24
25     H operator + (const H & h) const {
26         H hh;
27         hh.l = l + h.l;
28         hh.h1 = (1ll * h1 * p1[h.l] + h.h1) % P1;
29         hh.h2 = (1ll * h2 * p2[h.l] + h.h2) % P2;
30         return hh;
31     }
32
33     bool operator == (const H & h) const {
34         return l == h.l && h1 == h.h1 && h2 == h.h2;
35     }
36
37     bool operator < (const H & h) const {
38         if (l != h.l) return l < h.l;
39         else if (h1 != h.h1) return h1 < h.h1;
40         else return h2 < h.h2;
41     }
42 } h[maxn];
43
44 void init() {
45     memset(p, 1, sizeof(p));
46     p[0] = p[1] = false;
47     p1[0] = p2[0] = 1;
48     for (int i = 1; i <= n; ++i) {
49         p1[i] = (1ll * B1 * p1[i-1]) % P1;
50         p2[i] = (1ll * B2 * p2[i-1]) % P2;
51         if (!p[i]) continue;
52         for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {
53             p[j] = false;
54         }
55     }
56 }
57
58 int solve() {
59     for (int i = n; i; --i) {
60         h[i] = H(p[i]);
61         if (2 * i + 1 <= n) {
62             h[i] = h[2 * i] + h[i] + h[2 * i + 1];
63         } else if (2 * i <= n) {
64             h[i] = h[2 * i] + h[i];
65         }
66     }
67
68     cout << h[1].h1 << endl;
69     sort(h + 1, h + n + 1);
70     int m = unique(h + 1, h + n + 1) - (h + 1);
71     return m;
72 }
73
74 int main() {
75     cin >> n;
76     init();
77     cout << solve() << endl;
78 }

判断题

27. 假设程序运行前能自动将 maxn 改为 $n+1$，所实现的算法的时间复杂度是 $O(n \log n)$。

    {{ select(27) }}

• 正确
• 错误

28. 时间开销的瓶颈是 init() 函数。 {{ select(28) }}

• 正确
• 错误

29. 若修改常数 $B1$ 或 $K1$ 的值，该程序可能会输出不同的结果。

{{ select(29) }}

• 正确
• 错误

单选题

30. 在 solve() 函数中，h[l] 的合并顺序可以看作（ ）？ {{ select(30) }}

• 二叉树的 BFS 序
• 二叉树的先序遍历
• 二叉树的中序遍历
• 二叉树的后序遍历

31. 输入 $10$，输出的第一行是？（ ） {{ select(31) }}

• 83
• 424
• 54
• 110101000

32. 输入 $16$，输出的第二行是？（ ）

    {{ select(32) }}

• 7
• 9
• 10
• 12

三、程序填空

（单选题，每小题 3 分，共计 30 分）

程序填空(一)

1. （序列合并） 有两个长度为 $N$ 的单调不降序列 $A$ 和 $B$，序列的每个元素都是小于 $10^9$ 的非负整数。在 $A$ 和 $B$ 中各取一个数相加可以得到 $N^2$ 个和，求其中第 $K$ 小的和。上述参数满足 $N \leq 10^5$ 和 $1 \leq K \leq N^2$。

#include <iostream>
using namespace std;

const int maxn = 100005;

int n;
long long k;
int a[maxn], b[maxn];

int* upper_bound(int *a, int *an, int ai) {
    int l = 0, r = ___①___;
    while (l < r) {
        int mid = (l+r)>>1;
        if (___②___) {
            r = mid;
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }
    return ___③___;
}

long long get_rank(int sum) {
    long long rank = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        rank += upper_bound(b, b+n, sum - a[i]) - b;
    }
    return rank;
}

int solve() {
    int l = 0, r = ___④___;
    while (l < r) {
        int mid = ((long long)l+r)>>1;
        if (___⑤___) {
            l = mid + 1;
        } else {
            r = mid;
        }
    }
    return l;
}

int main() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> b[i];
    cout << solve() << endl;
}

33. ① 处应填（ ）。 {{ select(33) }}

• an-a
• an-a-1
• ai
• ai+1

34. ② 处应填（ ）。 {{ select(34) }}

• a[mid] > ai
• a[mid] >= ai
• a[mid] < ai
• a[mid] <= ai

35. ③ 处应填（ ）。 {{ select(35) }}

• a+l
• a+l+1
• a+l-1
• an-l

36. ④ 处应填（ ）。 {{ select(36) }}

• a[n-1]+b[n-1]
• a[n]+b[n]
• 2 * maxn
• maxn

37. ⑤ 处应填（ ）。 {{ select(37) }}

• get_rank(mid) < k
• get_rank(mid) <= k
• get_rank(mid) > k
• get_rank(mid) >= k

完善程序(二)

2.（次短路） 已知一个有 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图 $G$，并且给定图中的两个点 $s$ 和 $t$，求次短路（长度严格大于最短路的最短路径）。如果不存在，输出一行 $-1$。如果存在，输出两行，第一行表示次短路的长度，第二行表示次短路的一个方案。

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <utility>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 2e5+10, maxm = 1e6+10, inf = 522133279;

int n, m, s, t;
int head[maxn], nxt[maxm], to[maxm], w[maxm], tot = 1;
int dis[maxn<<1], *dis2;
int pre[maxn<<1], *pre2;
bool vis[maxn<<1];

void add(int a, int b, int c) {
    ++tot;
    nxt[tot] = head[a];
    to[tot] = b;
    w[tot] = c;
    head[a] = tot;
}

bool upd(int a, int b, int d, priority_queue<pair<int, int>> &q) {
    if (d >= dis[b]) return false;
    if (b < n) ___①___;
    q.push(___②___);
    dis[b] = d;
    pre[b] = a;
    return true;
}

void solve() {
    priority_queue<pair<int, int>> q;
    q.push(make_pair(0, s));
    memset(dis, ___③___, sizeof(dis));
    memset(pre, -1, sizeof(pre));
    dis2 = dis+n;
    pre2 = pre+n;
    dis[s] = 0;
    while (!q.empty()) {
        int aa = q.top().second; q.pop();
        if (vis[aa]) continue;
        vis[aa] = true;
        int a = aa % n;
        for (int e = head[a]; e; e = nxt[e]) {
            int b = to[e], c = w[e];
            if (aa < n) {
                if (!upd(a, b, dis[a]+c, q))
                    ___④__;
            } else {
                upd(n+a, n+b, dis2[a]+c, q);
        }
    }
}

void out(int a) {
    if (a != s) {
        if (a < n) out(pre[a]);
        else out(___⑤___);
    }
    printf("%d%c", a%n+1, " \n"[a == n+t]);
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &s, &t);
    s--, t--;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a-1, b-1, c);
    }
    solve();
    if (dis2[t] == inf) puts("-1");
    else {
        printf("%d\n", dis2[t]);
        out(n+t);
    }
}

38. ① 处应填（ ）。 {{ select(38) }}

• upd(pre[b], n+b, dis[b], q)
• upd(a, n+b, d, q)
• upd(pre[b], b, dis[b], q)
• upd(a, b, d, q)

39. ② 处应填（ ）。 {{ select(39) }}

• make_pair(-d, b)
• make_pair(d, b)
• make_pair(b, d)
• make_pair(-b, d)

40. ③ 处应填（ ）。 {{ select(40) }}

• 0xff
• 0x1f
• 0x3f
• 0x7f

41. ④ 处应填（ ）。 {{ select(41) }}

• upd(a, n+b, dis[a]+c, q)
• upd(n+a, n+b, dis2[a]+c, q)
• upd(n+a, b, dis2[a]+c, q)
• upd(a, b, dis[a]+c, q)

42. ⑤ 处应填（ ）。 {{ select(42) }}

• pre2[a%n]
• pre[a%n]
• pre2[a]
• pre[a%n]+1